|
THEODOR USSISOO
GEOMEETRILISTE
PJND- ja RUUMALADE
ARVUTAMINE
I JAGU
RIIGI TÖÖSTUSKOOLI KIRJASTUS
TALLINN, 1929
£■ H-OSL •
THEODOR USSISOO
GEOMEETRILISTE
PIND= JA RUUMALADE
ARVUTAMINE
I JAGU
RIIGI TÖÖSTUSKOOLI KIRJASTUS
TALLINN, 1929
Riigi trükikoda — Tallinn, Niine tän, 11.
J4633
Saatesõna.
Geomeetrilise õpiraamatu puudumisel, mis
rahuldaks tööstuskoolide ja õppinud tööliste
nõuet pind- ja ruumalade arvutamisel, leidsin
olevat tarviliku anda välja vastava lühikese
käsiraamatu.
Kuna senised kallihinnalised ja paljuile
õpilasile kättesaamatud geomeetria Õpiraamatud on määratud alg- ja keskkoolidele, kust
valemite leidmine Õpilasile aegaviitev ja raske,
olen püüdnud mahutada käesolevasse käsi
raamatusse neid praktilisi valemeid ja näiteid,
millega tööstuskoolide Õpilastel, kui ka Õppi
nud töölistel tuleb tegutseda.
Et pindalade ja mahtude arvutamine pal
judele tihtipeale tekitab raskusi, on siin iga
valemi jaoks antud selle lahendamise käik.
Julgen loota, et see käsiraamat osaltki
suudab kõrvaldada pind- ja ruumalade arvu
tamise käsiraamatu puudumist nii tööstus
koolides, kui ka Õppinud tööliste keskel.
—
Tallinn, oktoober 1929 a.
TH. USSISOO.
I.
Pindalad.
Planimeetria tähistused.
Arvutamisel märgitakse pikkuse, pinna ja ruum
ala mõõdud teatud tähtedega:
Kõrgus märgitakse tähega li
a
Alus
55
55
2 p (y2 ümbermõõtu=p)
Ümbermõõt 25
55
r (R)
Raadius
55
55
d (D)
Diameeter 55
55
a
ja b
Kaatetid
55
55
c
Hüpotenuus 55
55
l
Apoteem
55
55
S
Pindala
55
55
Püstküliku pindala.
Püstküliku pindala võrdub aluse ja kõrguse
korrutisega.
k
S — a .h
Näide: Leida püstküliku pindala, kui
a = 25 sm, h = 15 sm*).
S = 15.25 = 375 sm2.
*) Märkus: Meetermõõdu aluseks on võetud Vm-ooo-ooo osa Pariisi
linnast läbimineva meridiaanjoone pikkusest, mida nimetatakse meet
riks. 1 meeter (m) = 10 detsimeetrit (dm) = 100 sentimeetrit (cm)
= 1000 milimeetrit (mm).
6
Kolmnurga pindala.
Kolmnurga pindala võrdub aluse ja kõrguse
poolkorrutisega.
B
c
Näide: Kui suur on kolmnurga pindala, kui
alus = 32,8 sm ja kõrgus = 12,5 sm?
c 32,8.12,5 onc 9
^ =----- ö----- = 205 sm2.
Rööpküliku pindala.
Rööpküliku pindala võrdub aluse ja kõrguse
korrutisega.
= a. h
Nä|ide: Leida rööpküliku pindala, kui alus
= 7,5 sm, kõrgus =11,7 sm.
[S = 7,5.11,7 =87,75 sm2.
7
Trapetsi pindala.
I. Trapetsi pindala võrdub aluste poolsumma
ja kõrguse korrutisega.
•'
6
(a + 6).Ä
2
Sirgjoon, mis ühendab trapetsi kaldkülgede
keskkohti, on trapetsi kesk joon.
II. Kui asetame trapetsi aluste poolsumma
trapetsi keskjoonega, võime ütelda: trapetsi pind
ala võrdub trapetsi keskjoone ja kõrguse kor
rutisega.
Näide: Trapetsi alused a = 23,8 sm ja
b — 28,2 sm. Kõrgus h = 13,2 sm. Leida
pindala.
^ ..
M 23,8+28,2 oc
Keskjoon EF —------ ^------ =26 sm;
S = 13,2.26 = 343,2 sm2.
Korrapärase kuusnurga pindala.
Hulknurka, mille küljed ja nurgad isekeskis on
võrdsed, nimetatakse korrapäraseks hulknurgaks.
8
Korrapärase hulknurga keskpunktist hulknurga
külgedele tõmmatud ristjooned on korrapärase hulk
nurga apotjeemid, mis on isekeskis võrdsed.
XX
Et leida korrapärase kuusnurga pindala, peame
liitma üksikute kolmnurkade pindalad.
Näide: Korrapärase kuusnurga külga=22,4 sm
ja apoteem l — 19 sm. Leida korrapärase kuus
nurga pindala.
Kolmnurga pindala
22,4.19
212,8 sm2.
2
Korrapärases kuusnurgas on 6 ühesuurust kolm
nurka, nii et ta pindala
S = 212,8.6 = 1276,8 sm2.
Hulknurkade pindala.
Neli-, viis-, kuus-, seitsenurka j. n. e. nime
tatakse hulknurkadeks.
Jaotame korrapärase viisnurga diagonaalidega
kolmnurkadeks ja arvutame igal kolmnurga pind-
9
ala eraldi. Saadud kolmnurkade pindala summa
moodustab hulknurga pindala.
Näide: Kui suur on viisnurga pindala, kui
kolmnurkade alused on AC = 37,5 sm ja AD =
= 45 sm, ja kõrgused BF = 6,4 sm, CH — 12,8 sm
ja GE — 9,6 sm?
AC . BF 37,5.6,4
1. A ABC pindala =
120 sm2
2
2
AD . CH 45 . 12,8
2. A ACD pindala =
288sm2
2
2
AD . GE
45.9,6
3. A ADE pindala =
216sm2
2
2
Viisnurga pindala
S = 120 sm2 + 288 sm2 + 216 sm2 - 624 sm2.
Ring.
Ringi pindala saame n abil.
~ on ringi ümbermoõdu suhe diameetrisse.
7i = 3,14
Ringi ümbermõõt = 2 tzr.
Ringi pindala = tzr2.
10
Näide: Ringi raadius = 8,4 sm. Leida ringi
ümbermõõt ja ringi pindala.
Ringi ümbermõõt — 2.3,14.8,4 = 52,75 sm.
Ringi pindala = 3,14.8,4.8,4 = 221,56 sm2.
Ringlõike pind.
Kui ringlõike kõrgus ei ole suurem, kui 1/g
labimõõdust, siis võrdub ligikaudne pinnasuurus
sidejoone pikkusele, korrutatud 2/3 ringlõike kõr
gusega.
AB on ringlõike sidejoon, CD — kõrgus.
Näide: Ukse pealis, millel ringlõike kuju, tuleb
täis täita. Ukse laius on 1,55 m, ringlõike kõrgus
= 0,36 m. Mitu ruutmeetrit on ringlõike pind ?
Vastus: 1,55 .0,36.2/3 = 0,37 m2.
-
11
Elüps.
Ellipsit võime endale ette kujutada kui kahelt
poolt kokku surutud ringi. Ellipsil on kaks telge
— suur (2 d) ja väike (2 6).
Ellipsi ligikaudne ümbermõõt võrdub poole
suure telje pikkuse ja poole väikese telje pikkuse
summaga korrutatud u-ga.
. (a -j- 6).
Ellipsi pindala võrdub ligikaudselt poole suure
telje pikkuse ja poole väikese telje pikkuse ja
7i-korrutisega.
S — u . a. b.
Näide: Suure telje pikkus on 20 sm ja väikese
telje pikkus on 12 sm. Leida ellipsi ümbermõõt
ja pindala.
2 p = 3,14
8 = 3,14 .
/20
90
12\
+~J = 3,14.16 = 50,24 sm.
12
^ = 3,14.10.6 - 188,4 sm2.
Pythagorase lause.*)
Iga täisnurkse kolmnurga kaatetitele ehitatud
*) Pythagorase lause leiutajaks oli Kreeka mõttetark Pythagoras,
kes elas VI sajandil enne Kristust.
12
ruutude summa võrdub sellesama kolmnurga
hüpotenuusile ehitatud ruuduga.
Jagades võrdhaarse täisnurkse kolmnurga kül
gedele ehitatud ruudud diagonaalidega võrdseteks
kolmnurkadeks, nagu see joonisel näidatud, saame:
-^1+
4" -^3 +
+ ^6 + P 7 + ^8
ehk
a . a b .b = c . c.
Seda võib tõestada ka iga täisnurkse kolm
nurgaga, näiteks:
a . a -j- b. b — c. c.
13
Näide 1. Täisnurkse kolmnurga kaatetid
a = 4 sm, b = 3 sm. Leida hüpotenuus:
c.c — a.a-\-b.b — 4.4 + 3.3 — 25;
c — ]/ 25 — 5 (sm).
Näide 2. Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus
g = 15 sm, kaatet b = 9 sm. Leida kaatet a
a.a-\- 6.6 = c. c;
a .a = c. c — b .b — 15.15 — 9.9 — 144;
a = |/ 144= 12 (sm).
II.
Kehade pindalad ja ruumalad.
Stereomeetria tähistused.
Pindala
märgitakse tähega S
Küljepindala
Põhjapindala
Täispindala
m
Moodustaja
V.
Ruumala
Kuubi pindala.
Kehal on kolm mõõtu: pikkus, laius ja
kõrgus.
Kuubil on 6 külge ja iga külje pindala — a.a.
Järelikult võrdub kuubi pindala kuuekordse
ühe külje pindalaga.
14
—
St = 6 . a2.
Näide: Kuubi serv =
8 sm. Leida kuubi pind
ala.
Pindala = 8.8.6 = 384 sm2.
Kuubi ruumala.
Kuubi ruumala saamiseks korrutame tema serva
kolm korda iseendaga.
F = a.a.a ehk V = a3.
Näide: Kuubi serv on 9 sm. Leida ruumala.
Ruumala = 9.9. 9 = 729 sm3.
Rööptahuka pindala.
Rööptahuka külgpindala võrdub aluse ümbermõõdu ja kõrguse korrutisega.
Sk=2.a.h-sr2.b.h =
= 2 (cl + b) . h = 2 p . h.
Rööptahuka täispindala võr
dub külgpindala ja 2 aluse
pindala summaga.
£, = 2(a+6).Ä + 2.a.& =
— 2'p.h-\-2a.b.
Näide: Täisnurkse rööptahuka pikkus a—12,3 sm,
—
15
—
laius b = 17,5 sm ja kõrgus = 14,7 sm. Leida
täisnurkse rööptahuka pindala.
S'k =2(12,3+17,5) 14,7 = 876,12 sm2.
St = 876,12 + 2.12,3.17,5 = 1306,62 sm2.
Rööptahuka ruumala.
Rööptahuka ruumala leidmiseks on tarvis tema
kolm mõõtu isekeskis korrutada.
Rööptahuka ruumala võrdub pikkus X laius X
kõrgus.
V=a.b.h
Näide: Rööptahuka aluse üks külg = 12 sm,
teine külg = 15 sm, kõrgus = 25 sm. Leida
ruumala.
Ruumala = 12.15.25 = 4500 sm3
Kolmnurkne prisma.
Iga rööptahuka külgpindala võrdub põhja ümbermõõdu (perimeetri) ja kõrguse korrutisega.
Kolmnurkse prisma külgD
pindala
Sfc ~~ a . li + b. h + c. li =
= (a -j- b —j- c) . li = 2 j). h
Näide: Kolmnurkse prisma
aluse üks külg on 12,8 sm,
teine külg on 32,47 sm ja kol
mas külg 17,23 sm. Kõrgus Ä
on 51,2 sm. Leida pindala.
Külgpindala = (12,8 + 32,47 +
+ 17,23). 51,2 = 3200 sm2.
C
16
—
Püramiidi pindala.
Püramiidi tipust põhjale risti tõmmatud sirg
joon on püramiidi kõrguseks (sirgjoon OT on püra
miidi kõrgus).
Kui püramiidi kõrgus langeb põhja keskpunkti
ja tema põhjaks on korrapärane hulknurk, siis
on see püramiid korrapärane.
Et leida korrapärase nelinurkse (ruut) püramiidi
pindala, tuleb tõmmata külgtahu kõrgus, mida ni
metatakse apoteemiks. Korrapärase püramiidi
apoteemid on kõik isekeskis võrdsed.
Korrapärase püramiidi
pindala leitakse järgmiselt:
Kolma . I
nurga ^^ ptndala
C
„
TDC pindala =
„
TBG pindala = 0 9 -
„
TABpmdah = aol
Sellest järgneb, et korra
pärase nelinurkse püra
miidi külgpindala võrdub põhja ümbermõõdu ja
apoteemi poolkorrutisega.
n _(® a -f- ® ö) . I 4a .1
^
2 ------- = 7rfS— : - la.l - - p . /.
Püramiidi täispindala võrdub külgpindala ja
aluse pindala summaga.
St — 'p . I -f- CL2.
—
17
Näide: Korrapärase nelinurkse püramiidi aluse
külg on 11 sm ja apoteem 15 sm. Leida pindala.
Külgpindala = 2.11.15 = 330 sm2.
Täispindala = 330 + 11.11 = 451 sm2.
Näide: (Pythagorase lause põhjal).
Antud on serv c — 25 sm ja aluse külg a — 14 sm.
Leida püramiidi külgpind.
B
B
Joon. näeme, et täisnurkses kolmnurgas ABD
apoteem l on üks kaatet ja
1
CL
aluse külge 0 on
A
A
teine [kaatet. Serv c on hüpotenuus. Pythagorase
lause põhjal leiame apoteemi.
I2 = c2 —
= 252—(-- ~)2= 625 — 49 = 576;
l = ]/576 = 24 sm.
Sk = 2.14.24 = 672 sm2.
—
18
—
Püramiidi ruumala.
Korrapärase nelinurkse püramiidi ruumala võr
dub põhjapindala ja kõrguse 1/g korrutisega.
3
Näide; Korrapärase nelinurkse püramiidi aluse
külg on 16 sm ja kõrgus 24 sm. Leida ruumala.
Aluse pindala = 16.16 = 256 sm2;
T7 256.24 OA.Q 3
V = —õ— = 2048 sm3.
õ
Näide: (Pythagorase lause põhjal). Antud:
apoteem l - 18, aluse külg a — 6. Leida püra
miidi ruumala.
Kõrguse leiame pythagorase lause abil:
A2 - 182 — (|)2= 324 —9 = 315;
A=l/315 = 17,7;
1
7-6-6-17, = 212*.
Tüvipüramiidi pindala.
Tüvipüramiidi küljed kujutavad trapetsi. Tra
petsi pindala võrdub aluste poolsumma ja kõr
guse korrutisega.
(a-\-b) .1
S
—
19
Tüvipüramiidil (obelisk) on neli külge. Järjeli
kult tüvipüramiidi külgpind võrdub aluste ümbermõõdu poolsumma ja apoteemi korrutisega,
o
4a+ 4b
S*= -----2---- J =
_ 4
.1
Näide: Apoteem
l — 9 sm, aluseküljed
a — 5 sm, b — 3 sm.
Leida külgpind.
ji
i(5 + 3)9 = 144 sm2_
Silinder.
Silindri külgpindala = 2 tc r. h
„
täispindala = 27ur.A + 27tr2
„
ruumala = tc r2. h
Näide: On antud silinder,
£ mille raadius r = 12,5 sm ja
kõrgus h = 16 sm. Leida si
lindri pindala ja ruumala.
£Ä = 2ur.A = 2.3,14 .
. 12,5.16 == 1256 sm2;
St = 2izr.h -4-2TZ1'2 — 2.3,14.
.12,5.16 + 2.3,14.12,5.
. 12,5 = 2237,25 sm2;
L
F = u r2. A = 3,14.12,5 .
. 12,5.16 = 7850 sm3.
Õõnes-silindril tuleb esiti leida kogu silindri
ruumala ja siis Õõnsuse ruumala. Nende vahe
annab õõnes-silindri ruumala.
— 20 —
Koonus.
Koonuse külgpindala võrdub aluse ümbermõõdu ja moodustaja y2 korrutisega.
:r.m
«
ok
2 xi
—
———-
— Ti r m
Täispindala võrdub külgpindala ja aluse pind
ala summaga.
2tir.rn
= —2” -f- tc r2
Koonuse ruumala võrdub aluse pindala ja
kõrguse Va korrutisega.
Ruumala
7;r2 .Ji
3
Näide: Koonuse kõrgus on 12 sm, moodus-
21 —
taja 13 sm ja raadius 5 sm. Leida pindala ja
ruumala.
2.3,14.5.13
204,1 sm2;
Sh
St = 204,1 + 3,14.5.5 = 282,6 sm2;
7=
3,14.5.5.12
314 sm3.
Tüvikoonuse pindala.
Tüvikoonuse kaldpinna laotus kujutab trapetsi,
mida siis ka trapetsi valemi järgi arvutatakse.
Külgpindala saamiseks poolitatakse mõlemi ringi
ümbermõõtude summa ja korrutatakse saadud
summat kaldpinna moodustajaga.
Näide 1: Tüvikoonuse alumine raadius on
12,5 sm ja ülemine 7,5 sm. Moodustaja on 20 sm.
Leida külgpindala.
22 —
Alumine ümbermõõt = 2.3,14.12,5 = 78,5 sm;
Ülemine
,,
= 2.3,14 .7,5 = 47,1 sm;
~rr..t • j i c
(78,5 -J- 47,1). 20 10CC1
2
Kulgpmdala Sk = --------- -—----- = 1256 sm2.
Näide 2:
Sk - 3,14 (12,5 + 7,5). 20 = 1256 sm2.
Kera pindala.
Kera pindala võrdub suurringi 4-kordse pind
alaga.
S = 4tzR2.
Näide: Kera raadius = 10 sm. Leida pindala.
S= 4.3,14.10.10= 1256 sm2.
Kera ruumala.
Kera ruumala võrdub kera pindala ja raadiuse
1/3 korrutisega.
—
Näide:
ruumala.
23
-
Kera raadius on 9 sm.
4.3,14.9.9.9
3
Leida kera
3052,08 sm3.
Õõneskera.
Oõneskeral (kuul) tuleb esiti leida kogu kera
ruumala ja siis õõnsuse ruumala. Nende vahe
annab õõneskera ruumala.
„ __ 4 tt(iž3—r3)
V~
3
Näide. Õõneskera raadius on 8 sm. Õõnsuse
raadius 5 sm. Leida õõneskera ruumala.
V=
4.3,14.(512—125)
3
1620,24 sm3.
Lähemal ajal ilmub ^Geomeetriliste pindja ruumalade arvutamine IICC ja „Geomeetriliste ülesannete kogu Icc, mis oleks järjeks
käesolevale käsiraamatule.
Käsiraamatud
alg-, kesk- ja kutsekoolidele.
1. Th. Ussisoo. Geomeetriline joonestamine tehnikaja käsitöökoolidele (II täiendatud
trükk).
2. Th. Ussisoo. Geomeetriline ornament. (II trükk).
3. Th. Ussisoo. Projektsioon-joonestamine.
4. Th. Ussisoo. Puutöö algkoolidele I vihk.
5. Th. Ussisoo. Puutöö algkoolidele II vihk.
6. Th. Ussisoo. Puutöö algkoolidele III vihk.
7. Th. Ussisoo. Plekktöö algkoolidele I vihk.
8. Th. Ussisoo. Punumistöö algkoolidele I vihk.
9. Th. Ussisoo. Papptööd algkoolidele.
10. Th. Ussisoo. Pussnoatööd algkoolidele.
11. Th. Ussisoo. Saetööd algkoolidele.
12. Th. Ussisoo. Ümarkiri.
13. Th. Ussisoo. Plakatkiri puusulega.
14. Th. Ussisoo. Masinkiri (V trükk).
15. P. Madisson ja Th. Ussisoo. Planimeetria.
16. P. Madisson. Stereomeetria. Th. Ussisoo joonestustega.
17. A. Behrsing ja Th. Ussisoo. Laste geomeetria.
18. P. Tamm ja Th. Ussisoo. Puutehnoloogia I jagu.
|